Exercice 1 .1  

>	f:=x->1/(x-sin(x))-1/(x^3/6-x^5/120);

 

(1)

 

>	normal(f(x));series(denom(%),x=0,7);series(f(x),x=0,12);# cf discussion de l'ordre nécessaire après calcul de la partie principale du dénominateur

 

 

 

	(2)

 

>	p:=convert(%,polynom);#une conversion de type nécessaire

 

(3)

 

>	g:=unapply(p,x);# construction de la fonction ( polynôme ) de x par abstraction

 

(4)

 

>	with(plots):P1:=plot(f(t),t=0.1..4):P2:=plot(g(t),t=0..4,color=blue): display(P1,P2);

 

Exercice 1 .2 

>	f:=x->(sin((x+1)/x)-sin((x-1)/x))/(sqrt(x^2+2)-sqrt(x^2+1));

 

(5)

 

>	asympt(f(x),x);

 

(6)

 

>	evalf(%);# conversion des coefficients en floats

 

(7)

 

Exercice 1 .3 

>	restart:f:=x->sin(x)-(a*x+b*x^3+c*x^5)/(1+d*x^2+e*x^4);

 

(8)

 

>	dl:=series(f(x),x=0,11);# ordre nécessaire !

 

(9)

 

>	p:=convert(dl,polynom);# p est la partie régulière

 

(10)

 

>	c:=k->coeff(p,x,k);# c est la suite des coefficients

 

(11)

 

>	[seq(c(k),k=1..9)];# calcul des coefficients sous forme de liste anonyme

 

(12)

 

>	C:=map(expand,%);#on applique expand à chaque terme de la liste précédente ( placeholder % )

 

(13)

 

>	s:=solve({seq(C[k]=0,k=1..9)},{a,b,c,d,e});# résolution sous forme d'ensemble

 

(14)

 

>	assign(s);# l'affectation des valeurs trouvées à des variables ( names ) est irréversible ;

 

>	f(x);series(f(x),x=0,13);# l'affectation donne le résultat qu'on vérifie

 

 

	(15)

 

>	with(plots):P1:=plot(f(t),t=0..0.3, numpoints=1000): display(P1);

 

Exercice 2 .1 & 2 

>	restart :f[1]:=x->3*sin(x)/(2+cos(x)):f[2]:=x->1/3*(8*sin(x/2)-sin(x)):f[3]:=x->sin(x)*(cos(x)^(-1/3)):f[4]:=x->1/3*(2*sin(x)+tan(x)):

 

>	seq(f[k](x)=series(f[k](x),x=0),k=1..4);# au voisinage de 0, l'ordre des fonctions sera celui de leur second terme

 

(16)

 

>	plot([seq(f[k](t),k=1..4)],t=0..1.5);

 

>	u:=x->3*(2+cos(x))*(f[2](x)-f[1](x));

 

(17)

 

>	v:=unapply(combine(subs(x=2*t,u(x))),t);# pour linéariser on applique combine après substitution de variable

 

(18)

 

>	w:=t->a*sin(4*t)+b*sin(3*t)+c*sin(2*t)+d*sin(t);

 

(19)

 

>	U:=expand(v(t));#on transforme en polynôme trigonomètrique pour déterminer les coefficients

 

(20)

 

>	V:=expand(w(t));

 

(21)

 

>	solve(identity(U=V,t),{a,b,c,d});# il faut préciser le nom de la variable dont on identifie des polynômes

 

(22)

 

>	Diff(u,x): %=subs(t=x/2,1/2*expand(diff(v(t),t)));# le facteur est dû au changement de variable dans la dérivation formelle de l'expression

 

(23)

 

>	P:=sort(-12*y+24*y^3-14*y^2+10-8*y^4);# on ordonne le polynôme

 

(24)

 

>	P:%=factor(%);#on le factorise sur les rationnels

 

(25)

 

>	solve(rhs(%),y);#on détermine les zéros dans une extension algébrique

 

(26)

 

>	factor(P,sqrt(6));# on factorise dans cette extension

 

(27)

 

Exercice 3 .1 

>	u:=n->sin(a/sqrt(n+b))-tan(c/sqrt(n+d));

 

(28)

 

>	asympt(u(n),n,2);

 

(29)

 

>	assign(a=c);# condition nécessaire de convergence

 

>	asympt(u(n),n,3);

 

(30)

 

>	p:=convert(%,polynom);

 

(31)

 

>	C:=seq(coeff(p,(1/n)^((2*k+1)/2))=0,k=1..2);

 

(32)

 

>	solution:=solve({C},{b,c,d});

 

(33)

 

>	assign(solution[2]);u(n);#on choisit la solution intéressante !

 

(34)

 

>	asympt(u(n),n,4);simplify(%);#il faut simplifier par les conditions posées globalement

 

 

	(35)

 

Exercice 3 .2 

>	restart:assume ( n,integer );w:=n->exp(sin(Pi*sqrt(n^2+a*n+b)))-1;w(n);# la tilde indique l'hypothèse globale qui va intervenir comme régle dans les simplifications

 

 

	(36)

 

>	asympt(w(n),n);# Maple ne peut développercar l'argument est équivalent n*Pi !

 

Error, (in asympt) unable to compute series

 

>	subs(n=1/x,sqrt(n^2+a*n+b));# on traite le problème du signe

 

(37)

 

>	expr1:=expand(Pi*subs(x=1/n,series(%,x=0,2) ));

 

(38)

 

>	epsilon:=n->(-1)^n;

 

(39)

 

>	expr2:=epsilon(n)*sin(expr1-n*Pi);

 

(40)

 

>	exposant:=asympt(expr2,n);

 

(41)

 

>	u:=unapply(exp(exposant)-1,n);

 

(42)

 

>	asympt(u(n),n);

 

(43)

 

>	simplify(subs(a=0,%));expand(%);# on obtient la somme d'une série alternée convergente et d'une série de terme général absolument convergent ;

 

 

	(44)

 

Exercice 3 .2 

>	assume( alpha>0 ); t:=(n,alpha)->arccos(sqrt(3)/2+(-1)^n/n^alpha)-Pi/6;

 

(45)

 

>	t(n,alpha);asympt(t(n,alpha),n);#Maple ne peut développer directement à cause du signe de n et alpha

 

 

Error, (in asympt) unable to compute series

 

>	asympt(simplify(t(2*n+1,1/2)),n,2);

 

(46)

 

>	series(arccos(sqrt(3)/2+x)-Pi/6,x=0,3);

 

(47)

 

>	subs(x=(-1)^n/n^alpha,%);

 

(48)

 

>	map(simplify,%);

 

(49)

 

>	partie_reguliere:=convert(%,polynom);# on obtient une somme de deux séries, la première vérifie le CSSA et la seconde est équivalente à une série de terme général négatif .

 

(50)

 

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